Царь нигилистов 5 (СИ)

— Александр Александрович, уже Леонард Эйлер столетие назад знал это число до 18-го знака!

— Дальше не помню, — вздохнул Саша.

— Пишите: «2, 3, 5».

— А! — сказал Саша. — Тоже легко запомнить. Три первых простых числа, кроме единицы.

— Единица не является простым числом, Александр Александрович, — заметил академик, — потому что у неё только один делитель, а простого числа их два: само число и единица.

— Всё время с этим путаюсь, — признался Саша.

— А как вы 15 цифр запомнили? — спросил академик.

— «2,7» запомнить просто, — объяснил Саша, — а потом дважды повторяется год рождения Льва Толстого, потом сорок пять, сорок пять на два, и опять сорок пять. Это просто. К тому же это углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

— А я не знал год рождения автора «Севастопольских рассказов», — признался Остроградский. — Теперь буду помнить. Теперь напишите тот же предел, но вместо n поставьте x. Чему равен?

— Тому же самому. Это тоже число e.

— Доказывайте, — беспощадно приказал академик.

Доказательства Саша разумеется не помнил. Так что на пять минут завис. Наверняка ведь доказывал в 179-й. Но даже не помнил, была ли такая задача в листочках от Константинова.

— Не знаете? — разочарованно спросил Остроградский.

— Не помню, — признался Саша, — но попробую сообразить.

— Да? — недоверчиво поинтересовался академик. — Жду!

И тут Саша вспомнил, как рассказывал Никсе теорему о двум милиционерах. Ну, конечно!

— Возьмём два натуральных числа n, между которыми лежит число x: n и n+1, — начал Саша. — И построим последовательности между которыми лежит последовательность с x. Пределы обеих последовательностей с натуральными числами равны e. Тогда по теореме о двух милиционерах, предел последовательности с x тоже равен e.

— По какой теореме? — переспросил Остроградский.

— О двух полицейских, — поправился Саша, — точнее, городовых. Ну, о промежуточной последовательности.

— А! — кивнул Остроградский. — Странно вы её называете. Теперь докажите теорему о промежуточной последовательности.

И Саша понял, что Остроградский и правда зверь.

В 179-й Саша он её точно доказывал. И в прошлом году, после визита к Елене Павловне, её доказывал Никса. Правда не идеально. Но вспомнить было не трудно.

— Надо исходить из определения, — предположил Саша. — Позвольте я напишу определение предела.

— Пишите, — разрешил Остроградский.

И Саша написал его в точности так, как учили в 179-й школе, с помощью кванторов.

— Число a называется пределом последовательности, если для любого положительного эпсилон существует N, такое что при любом n N выполняется неравенство: «модуль разности энного члена последовательности и предела меньше эпсилон».

Остроградский посмотрел как-то странно.